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首页 一类三角形的周长最小值求法探究(2)

一类三角形的周长最小值求法探究(2).pdf

一类三角形的周长最小值求法探究(2)

大人
2019-05-04 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《一类三角形的周长最小值求法探究(2)pdf》,可适用于考试题库领域

一道关于三角形的周长最小值问题解法探究(安徽省马鞍山市丹阳中学孙世宝邮编:)我们刚开时学习解析几何直线知识时经常会碰到诸如此类问题:过定点P作动直线L分别交x轴及y轴非负半轴于BA,两点求下列这些量:OABS?|,|||OBOA?OABl?||||PBPA?(O是原点OABS?指面积OABl?指周长)的最小值称它们为小问题是其太司空见惯了我们对它们的解法也比较熟悉下面笔者对其中一类问题的解法从多个角度进行阐述以期揭示数学知识的内在联系小中亦有大一问题及几个解答问题:过定点),(P作动直线L分别交x轴及y轴正半轴于BA,两点求OAB?周长l的最小值分析:回顾一下老问题求两个截距和的做法是有益的以期达到温故而知新提供化归原形的目的设直线L方程为),(???babyax可见??ba于是便有如下的所谓“代换”的解法:截距和))((bababa????,)()(??????????abbaabba所求,)(min???ba取等条件就不赘述了(不展开用一次柯西也行)更一般地nbma?的最小值(其中nm,为正常数)也可以这样解决而现在要求babal????的最小值去掉恼人的根号是关键:可考虑通过放缩用ba,的线性式子取代它考虑到二元柯西不等式有,)())((????????baba于是,??????baba)()(bal?????????下面的解法也就顺理成章了解法:设直线L方程为),,(???babyax可见??ba考虑到二元柯西不等式有,)())((????????baba于是,??????baba)()(bal?????????若记,,???????????nm)())((mnnmanbbmanmbanbmanbmal????????????取等条件为abanbbmaba?????,,消元得,???????平方即,)()()(???????,??????于是这样,,min???lba分析:为去掉根号移项平方,)(babal????即,????abblall考虑到条件,baabba?????于是得到,)()(blall????利用右边的最小值建立关于l的不等式则问题获得解答解法:,)(,babalbabal????????即,????abblall考虑到条件有,baab??得到)()(blall????显然,?l利用“代换”有,)()()()(?????????llbablall即,))(())((?????llll平方解得,min??ll(取等条件略)分析:引入角参数),,(?????OAB通过不同的三角函数可以使得l的表达式中不出现根式,便于解决问题而sincostantan?????????l,sincoscos)sin(?????????引入代换,tan??t可以转化为有理式子便于解答问题解法:如图中不难求得sincostantan?????????l),(tan,sincoscos)sin(????????????t不难得到,)()(????????????????tttttttttttl于是tan,,min?????tttl?取到显然直接利用导数也行(不管变量是?还是t)这就不多述了分析:对于许多同学而言可能会一开始使用直线的斜截式方程),(????kxky不难求出它在x轴y轴上的截距,,ba,,kbkka????于是kkkkkbabal??????????后面感觉太繁而舍去了其实任何事情的成功都是不断实践尝试的结果此所谓“实践出真知”不要轻易放弃任何可行的方法即使失败了也积累了经验为后面的成功奠定了基础(失败是成功之母)导数是解决极值最值问题的最一般方法为何不用导数试一下呢?解法:直线的斜截式方程为),(????kxky不难求出它在x轴y轴上的截距,,ba,,kbkka????于是),(????????????kkfkkkkkbabal,)()()()()('kkkkkkkkkf????????????化简为,????kkk此为单极值点必为最小值点(明显无最大值)于是)(min???fl分析及解法:如图考虑到圆的切线长定理(过圆外一点作的两条切线长相等)做出与直线AB及与两个坐标轴都相切的圆(旁切圆)其半径为,r圆心),,(rrC可见,||||||||||rONOMABOBOAl??????其中NM,为两个切点直线)(:???xkyL与圆)()(:rryrxC????相切圆心C到直线l的距离,|)(|rkrrkrd???????即,))(()(???????rkrrkr判别式,)()(??????rrrr当??k时取等号于是min?l此时圆与L相切于定点P也可利用,)()(||???????rrrPCdr分析:大家都知道三角形不等式|,|||||ACBCBA??),(),,(|,|ObaMMOba??,babal????那么ba?或kkba(??为一常数)在已知条件??ba下是否等于|,|MF其中F为一个定点),(nm尝试一下于是便有了解法解法:设,)()()(nbmakba??????其中ba,的含义同前knm,,为待定常数由已知baabba?????由)()()(nbmakba??????知:,)()(????????nmkbknakmab即有,)()(?????????nmkbknakm令,??????????????nmkknkm取,,???nmk考虑到:,)(????ba我们有,)()(??????baba),(F于是,||||||??????FOMOMFl取等时OFM,,共线即所求min?l事实上在abO?坐标系中),(baM的轨迹是等轴双曲线??ba离心率?e),(F是其一个焦点相应准线为,???baM到此准线的距离,???bad||||||??????MOMFMOedl二问题的一般化及两个三维推广问题(原问题的一般化):过定点),(nmP作动直线分别交过原点O两射线)(??xy与)(tan???yxy?(?),(??为一定角,???第二条射线为y轴正半轴)于点,,NM求OMN?的周长的最小值(即夹角为?的两射线与过其内定点的直线围成的三角形周长最小值问题)答案为:,)(tan)tan(nmnnm??????或cossin)(??dddd??,dd表示定点P到角?两边的距离特别地,,?????nm就是我们前面解答的那个问题大家能否根据我的解法得到启示给出问题及下面的问题的解答呢?问题(三维推广):已知),(),,(zcybxazyxxzzyyxzxyzxyzyxf???????????其中,,,?zyx且cba,,为给定三角形的三边长试求),,(zyxf的最小值答案为:,Scba???S为以cba,,为边长的三角形面积问题(三维推广):已知,)()()(),,(czbyaxzyxzyxg?????????且满足,???????kzyxkzxyzxy常数kcba,,,满足,,?????????kkcbakcabcab试求),,(zyxg的最小值答案:)()()(kckbkak??????我们一开始的那个问题条件即:,))((??????baba而babal????作平移变换,,????byax则有,)()(,????????yxyxlxy可见问题是这个老问题的三维推广

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