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数学分析课件.ppt

数学分析课件

Vicky
2013-12-27 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《数学分析课件ppt》,可适用于高等教育领域

第二章数列极限§数列极限的概念§收敛数列的性质§数列极限存在的条件要求:理解数列极限的“?N”定义了解数列极限的性质并可计算数列的极限理解数列极限的单调有界原则及柯西准则重点:数列极限的“?N”定义收敛数列的性质及收敛条件难点:数列极限的“?N”定义和数列收敛条件§数列极限的概念§数列极限的概念一、概念的引入及数列的定义二、收敛数列和发散数列三、数列的特性四、无穷小数列五、小结与思考题一、概念的引入及数列的定义引例如何用渐近的方法求圆的面积S?用圆内接正多边形的面积近似圆的面积SAA表示圆内接正边形面积,A表示圆内接正边形面积,A表示圆内接正边形面积,An表示圆内接正?n边形面积,??????,??????显然n越大,An越接近于S因此,需要考虑当n??时,An的变化趋势、截丈问题:竭”“一尺之棰日截其半万世不例如●●目标不惟一!!!!!!!!!!!!例如当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为数列极限的通俗定义二、收敛数列和发散数列问题:问题:“无限接近”意味着什么如何用数学语言刻划它通过观察:当n无限增大时,xn无限接近于a?当n无限增大时,|xna|无限接近于?当n无限增大时,|xna|可以任意小,要多小就能有多小?当n增大到一定程度以后,|xna|能小于事先给定的任意小的正数分析因此,如果n增大到一定程度以后,|xna|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近于常数a当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则数列{xn}收敛a数列极限的精确定义定义:设{xn}为一数列?如果存在常数a?对于任意给定的正数e?总存在正整数N?使得当n>N时?不等式|xn?a|<e总成立?则称常数a是数列{xn}的极限?或者称数列{xn}收敛于a?记为如果不存在这样的常数a?就说数列{xn}没有极限?问题:注意:极限定义的简记形式定义习惯上称为极限的εN定义这个定义有三个要素:正数ε正数N不等式|xn-a|<ε(n>N)定义中的ε具有二重性:一是ε的任意性二是ε的相对固定性。数列极限的几何意义使得N项以后的所有项都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点即在a的ε邻域内有数列中的无限个点OK!N找到了!!n>N目的:NO,有些点在条形域外面!Ne越来越小N越来越大!分析:证明数列极限的定义未给出求极限的方法注意:利用定义验证数列极限有时遇到的不等式|xn-a|<ε不易考虑往往采用把|xn-a|放大的方法。若能放大到较简单的式子就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N例证明证明则当n>N时有例证明分析:要使(为简化限定n)只要证当n>N时有例证明(K为正实数)证:由于所以对任意ε>取N=,当n>N时,便有例证所以,说明:常数列的极限等于同一常数例证例证由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤:适当放大,通常放大成的形式求出需要的化简解总结用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式关键的追求有两点一是把隐性表达式变成显性表达式在重锁迷雾中看清庐山真面目二是抓住主要矛盾舍去次要矛盾要取舍合理不能放大得过份。三数列的特性三数列的特性结论:改变或去掉数列的有限项,不影响数列的收敛性和极限重排不改变数列敛散性四无穷小数列定义极限为的数列称为无穷小量(无穷小量是指一个极限概念趋向常数)命题命题命题五小结与思考题小结:()数列极限的定义()数列极限的几何意义()应用数列极限的定义证明数列极限的方法作业P:,()()(),,课堂延续性教学思考题:如何用数学式子描述:和数列发散练习题:P:()(),数列极限的几何意义使得N项以后的所有项都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点即在a的ε邻域外至多有数列中的有限个点例证特取例证由定义,区间长度为不可能同时位于长度为的区间内

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